Question

17．7人站成一排．（寫出必要的過程，結(jié)果用數(shù)字作答）
（1）甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？
（2）甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？
（3）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？
（4）甲、乙、丙三人至多兩人不相鄰的排法有多少種？

Answer 1

分析 （1）（捆綁法）將甲、乙兩人“捆綁”為一個元素，與其余5人全排列．
（2）方法一（間接法）7人任意排列，再排除（1）相鄰的，
（插空法）將其余5人全排列形成6個空，任選2個排甲、乙兩人，
（3）將其余4人排好，形成4個空，將甲、乙、丙插入5個空中
（4）（間接法）7人任意排列，再排除3人都相鄰的種數(shù)問題得以解決．

解答 解：（1）（捆綁法）將甲、乙兩人“捆綁”為一個元素，與其余5人全排列，共有$A_6^6$種排法，甲、乙兩人可交換位置，有A₂²種排法，故共有$A_6^6•A_2^2=1440$（種）排法．
（2）方法一（間接法）7人任意排列，有$A_7^7$種排法，甲、乙兩人相鄰的排法有$A_2^2•A_6^6$種，故甲、乙不相鄰的排法有$A_7^7-A_2^2•A_6^6=3600$（種）．
方法二（插空法）將其余5人全排列，有$A_5^5$種排法，5人之間及兩端共有6個位置，任選2個排甲、乙兩人，有$A_6^2$種排法，故共有$A_5^5•A_6^2=3600$（種）排法．
（3）（插空法）將其余4人排好，有$A_4^4$種排法，將甲、乙、丙插入5個空中，有$A_5^3$種排法．故共有$A_4^4•A_5^3=1440$（種）排法．
（4）（間接法）7人任意排列有$A_7^7$種排法，甲乙丙都相鄰的排法有${A}_{3}^{3}{A}_{5}^{5}$種，故有$A_7^7-A_5^5•A_3^3=4320$種排法

點評 本題考查排列、組合的應用，注意特殊問題的處理方法，如相鄰用捆綁法，不能相鄰用插空法，定序法，屬于中檔題．