Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

1

(n+1) n +n n+1

（n∈N^*），其前n項和為S_n，則在數(shù)列S₁、S₂、…S₂₀₁₄中，有理數(shù)項的項數(shù)為（　�。�

Answer 1

分析：對a_n變形后利用裂項相消法求得S_n，通過解不等式可得答案．

解答：解：∵a_n=

1

(n+1) n +n n+1

=

1

n(n+1) ( n + n+1 )

=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
令

n+1

=t（t≥2，t∈N₊），則n=t²-1，
由n≤2104，得t²-1≤2014，解得2≤t≤44，t∈N₊，
∴t的個數(shù)為43，即S₁、S₂、…S₂₀₁₄中，有理數(shù)項的項數(shù)為43，
故選B．

點評：本題考查數(shù)列求和、解不等式等知識，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．