Question

17．設函數f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）判斷函數y=f（x）-ag（x）極值點的個數；
（2）求證：當 x∈（0，1）時，g（x）＞$\frac{2}{2-{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）構造輔助函數h（x）=lnx-ae^x，求導，當a≤0和a＞0，h′（x）的符號，根據極值的定義即可判斷y=f（x）-ag（x）極值點的個數；
（2）由題意可知，將不等式轉化成2e^x-e^xx³＞2構造輔助函數，求導，由x∈（0，1）時-e^x＜0，x+1＞0；根據二次函數性質，判斷函數k（x）的單調區(qū)間，求得函數的最大值，即可證明2e^x-e^xx³＞2，可得g（x）＞$\frac{2}{2-{x}^{3}}$．

解答 解：（1）令h（x）=lnx-ae^x，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x，
當a≤0時，h′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x＞0，此時函數無極值點．…（2分）
當a＞0時，令，h′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x=0，則$\frac{1}{x}$=ae^x，
顯然?x₀＞0，使得$\frac{1}{{x}_{0}}$=$a{e}^{{x}_{0}}$，
當0＜x＜x₀時，$\frac{1}{x}$＞ae^x，即h′（x）＞0，
當x＞x₀時，$\frac{1}{x}$＜ae^x，即h′（x）＜0，
此時函數有唯一極大值點，無極小值點．…（5分）
（2）證明：要證g（x）＞$\frac{2}{2-{x}^{3}}$，即證2e^x-e^xx³＞2；…（6分）
令k（x）=2e^x-e^xx³，
∴k′（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x³+3x²-2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），…（7分）
故當x∈（0，1）時-e^x＜0，x+1＞0；
令P（x）=x²+2x-2=0．則x=±$\sqrt{3}$-1（負值舍去）
故當x∈（0，$\sqrt{3}$-1）時，P（x）=x²+2x-2＜0，故k′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＞0，
即k（x）在（0，$\sqrt{3}$-1）上單調遞增；…（9分）
當x∈（$\sqrt{3}$-1，1）時，P（x）=x²+2x-2＞0，
故k′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＜0，
即k（x）在（$\sqrt{3}$-1，1）上單調遞減；
∵k（0）=2，k（1）=e，
故當x∈（0，1）時，k（x）＞k（0）=2 即2e^x-e^xx³＞2，
故結論成立…（12分）

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性、極值及不等式的證明，具體涉及到導數的性質、函數增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，屬于中檔題．