Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=-5+\frac{1}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（Ⅱ）若P是直線l上的一點(diǎn)，Q是曲線C上的一點(diǎn)，當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，得ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，即可得到直角坐標(biāo)方程．
（II）由題設(shè)條件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即|PQ|≥|PC|-$\sqrt{3}$，可得：|PQ|_min=|PC|_min-$\sqrt{3}$．設(shè)P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，-5+$\frac{1}{2}$t），又C（$\sqrt{3}$，0），利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，得ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，從而有x²+y²=2$\sqrt{3}$x，
∴（x-$\sqrt{3}$）²+y²=3．
∴曲線C是圓心為（$\sqrt{3}$，0），半徑為$\sqrt{3}$的圓．
（Ⅱ）由題設(shè)條件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
即|PQ|≥|PC|-$\sqrt{3}$，∴|PQ|_min=|PC|_min-$\sqrt{3}$．
設(shè)P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，-5+$\frac{1}{2}$t），又C（$\sqrt{3}$，0），
則|PC|=$\sqrt{（-\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}）^{2}+（-5+\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-2t+28}$=$\sqrt{（t-1）^{2}+27}$．
當(dāng)t=1時(shí)，|PC|取得最小值，從而|PQ|也取得最小值，
此時(shí)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．