Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量

m

=（a-2b，c），

n

=（cosC，cosA），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大��；
（2）若c=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：

m

•

n

=（a-2b）cosC+cosA=0，進(jìn)而得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，由三角函數(shù)的公式易得答案；
（2）由余弦定理可得a²+b²=4+ab≥2ab，即ab≤4，而S_△ABC=

1

2

absinC，代入可得．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=（a-2b）cosC+cosA=0，
由正弦定理得（sinA-2sinB）cosC+sinCcosA=0，
即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，
所以sin（A+C）=2sinBcosC，即sinB=2sinBcosC，
又∵sinB≠0，∴cosC=

1

2

，
又C∈（0，π），∴C=

π

3

；
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即4=a2+b2-2abcos

π

3

，∴a²+b²=4+ab≥2ab，
∴ab≤4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，△ABC的面積的取到最大值

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查正余弦定理的應(yīng)用，涉及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．