Question

14．已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓（x+1）²+y²=4上運動．
（Ⅰ）求線段AB的中點軌跡方程M；
（Ⅱ）求軌跡M上的點到點P（5，4）的最小距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設線段AB中點M（x，y），A（x₁，y₁），由題意知x₁=2x-4，y₁=2y-3，由點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，能求出點M的軌跡方程．
（Ⅱ）求出軌跡M的圓心C到P的距離，減去半徑，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）設線段AB中點M（x，y），A（x₁，y₁），
由題意知：x₁=2x-4，y₁=2y-3，
∵點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，
∴（2x-4+1）²+（2y-3）²=4，
整理，得（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
（Ⅱ）（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1表示以C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）為圓心，1為半徑的圓，
∵CP=$\sqrt{（5-\frac{3}{2}）^{2}+（4-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{74}}{2}$，
∴軌跡M上的點到點P（5，4）的最小距離為$\frac{\sqrt{74}}{2}$-1．

點評 本題考查線段的中點的軌跡方程的求法，考查代入法的運用，確定坐標之間的關系是關鍵．