Question

19．如圖，直線PD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，PD=AD，求直線PA與BD所成角的大�。�

Answer 1

分析 令PD=AD=1，取PD中點(diǎn)為E，AD中點(diǎn)為F，AB中點(diǎn)為M，連結(jié)EF、EM、FM，由已知推導(dǎo)出∠EFM就是直線PA與BD所成角或其補(bǔ)角，由此能求出直線PA與BD所成角的大�。�

解答 （本題滿分12分）
解：令PD=AD=1，取PD中點(diǎn)為E，AD中點(diǎn)為F，AB中點(diǎn)為M，
連結(jié)EF、EM、FM，
則EF∥PA，F(xiàn)M∥BD，
∴∠EFM就是直線PA與BD所成角或其補(bǔ)角．…（4分）
又∵在△EFM中，EF=$\frac{1}{2}AP$=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
FM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
連結(jié)DM，得EM=$\sqrt{D{M}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠EFM=$\frac{E{F}^{2}+F{M}^{2}-M{E}^{2}}{2×EF×MF}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠EFM=120°，…（10分）
∴直線PA與BD所成角的大小為60°．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．