Question

17．將函數(shù)f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)）不變，再向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）的圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0），且相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若銳角△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得f（x）=sin（ωx-φ），由函數(shù)圖象變換可得g（x）=sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{12}$-φ）的圖象，由題意可得ω=4和φ值，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{5}{12}$π≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得；
（Ⅲ）由銳角三角形可得A的范圍，由三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）化簡可得f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)）不變得到y(tǒng)=sin（$\frac{1}{2}$ωx-φ）的圖象，
再向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）=sin[$\frac{1}{2}$ω（x+$\frac{π}{6}$）-φ]=sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{12}$-φ）的圖象，
又函數(shù)y=g（x）的圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0），且相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{\frac{1}{2}ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=4，由2•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$-φ=kπ，k∈Z，結(jié)合0＜φ＜π可得φ=$\frac{5}{12}$π
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（4x-$\frac{5}{12}$π）；
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{5}{12}$π≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{48}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{11π}{48}$，k∈Z，
結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{11π}{48}$]；
（Ⅲ）∵銳角△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，
結(jié)合A+B+C=π可得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，故C=$\frac{2π}{3}$-A∈（0，$\frac{π}{2}$），
結(jié)合A為銳角可得A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），故4A-$\frac{5}{12}$π∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{19π}{12}$）
∴f（A）的取值范圍為[-1，1]

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)圖象變換和單調(diào)性以及三角函數(shù)的值域，屬中檔題．