Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=an+

1

4n2-1

，則a_n=

4n-3

4n-2

．

Answer 1

分析：由已知可得，an+1-an=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，然后利用累計法可求通項

解答：解：∵a1=

1

2

，an+1=an+

1

4n2-1

∴an+1-an=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴a2-a1=

1

2

(1-

1

3

)
a3-a2=

1

2

(

1

3

-

1

5

)
…
an-an-1=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)
以上n-1個式子相加可得，an-a1=

1

2

(1-

1

2n-1

)=

2n-2

4n-2

∵a1=

1

2

∴a_n=

2n-2

4n-2

+

1

2

=

4n-3

4n-2

故答案為：

4n-3

4n-2

點(diǎn)評：本題主要考查了利用裂項及累計法求解數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵 是對遞推公式的變形an+1-an=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)