Question

已知：函數(shù)f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并予以證明．當(dāng)x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），a為常數(shù)）時，f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1-x

1+x

＞0，求得x的范圍，可得f（x）的定義域．
（Ⅱ）由于 f（x）的定義域為（-1，1），且f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
任取-1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1-x

1+x

＞0，∴f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱．
且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）任取-1＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=log₂

1-x1

1+x1

-log₂

1-x2

1+x2

=log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

．

由題設(shè)可得

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
∴l(xiāng)og₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
因為函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈（-a，a]有最小值即為x=a時，最小值為f（a）=log₂

1-a

1+a

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明．