如圖，四棱錐S—ABCD的底面是矩形，AB=a，AD=2，SA=1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B、C的一點P使得⊥.

(1)求a的最大值;

(2)當a取最大值時,求異面直線AP與SD所成角的余弦值;

(3)當a取最大值時,求平面SCD的一個單位法向量.

解：(1)a=1.

(2)a=1時,P為BC中點,以A為原點,AB,AD,AS為x,y,z軸建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),P(1,1,0),S(0,0,1),D(0,2,0).

∴=(1,1,0),=(0,2,-1),·=2.

∴cos〈,〉=.

∴異面直線AP與SD所成角的余弦值為.

(3)由(2)知:S(0,0,1),D(0,2,0),C(1,2,0),=(1,2,-1),=(-1,0,0).

設(shè)平面SCD的單位法向量n0=(x,y,z),則

則∴

∴n0=(0,,).

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精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．
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3
，點E、G分別在AB，SG 上，且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC．
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π4
． 
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（2）求三棱錐S-APD的體積．

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（2）求三棱錐E-BCD的體積V．

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（2006•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大��；
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大�。�

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