Question

【題目】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．

（1）求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在△ACD中，求CD邊上的高所在直線方程；
（3）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法一：設(shè)D（x，y），

∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）， ，

∴（﹣1，﹣6）=（2﹣x，3﹣y），

∴x=3，y=9，即D（3，9）．

解法二：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），

∴AC中點(diǎn)為 ，

該點(diǎn)也為BD中點(diǎn)，設(shè)D（x，y），

則可得D（3，9）

（2）解：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），

∴CD邊的斜率kCD= =6，

∴CD邊上的高的斜率為 ，

∴CD邊上的高所在的直線方程為y﹣5=﹣ （x+1），即x+6y﹣29=0

（3）解：解法一：∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．

∴直線BC： = ，即x﹣y+1=0，

∴A到BC的距離為d= ，

又BC= =4 ，

∴四邊形ABCD的面積為 ．

解法二：∵ ， ，

∴由余弦定理得

∴

∴四邊形ABCD的面積為

【解析】（1）可以利用平行四邊形的一組對(duì)邊平行，借助向量求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；也可以利用平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）利用兩條互相垂直的直線的斜率積為-1，由直線CD的斜率求得其邊上高的斜率，又過點(diǎn)A，進(jìn)而求得CD邊上的高所在的直線方程；（3）可以利用一邊與其邊上的高求得平行四邊形的面積，也可以利用：一條對(duì)角線將三角形分為兩個(gè)面積相等的三角形，來求平行四邊形的面積.