精英家教網(wǎng)在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為60°,
求:(1)直線PA與底面ABCD所成的角;
(2)四棱錐P-ABCD的體積.
分析:(1)在四棱錐P-ABCD中,說明∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,∠PAO是PA與平面ABCD所成的角.△AOB是直角三角形,求出∠BAO=30°,即可.
(2)在Rt△POB中,求出PO=BOtan60°=
3
,求出底面菱形的面積為S=AB×ADsin60°=2
3
,然后求出四棱錐P-ABCD的體積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,
得PO⊥AO,PO⊥BO,
所以∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,
所以∠PBO=60°,且∠PAO是PA與平面ABCD所成的角.(4分)
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,O是對(duì)角線的交點(diǎn),∠DAB=60°
所以△AOB是直角三角形,
且∠BAO=30°,(5分)
(2)在Rt△AOB中,BO=ABsin∠BAO=2sin30°=1,AO=ABcos∠BAO=
3
(7分)
于是在Rt△POB中,得PO=BOtan60°=
3
,
所以在Rt△POA中,tan∠PAO=
PO
AO
=1,∠PAO=45°,
所以PA與平面ABCD所成的角為45°(9分)
而底面菱形的面積為S=AB×ADsin60°=2
3

所以四棱錐P-ABCD的體積V=
1
3
×2
3
×PO=
2
3
3
×
3
=2.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查直線與平面所成角正弦值的求法,直線與直線的垂直的證明方法,考查空間想象能力,計(jì)算能力,熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC、PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求BD與平面ADMN所成角的大;
(3)求二面角B-PC-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4.AB=2,AN⊥PC于點(diǎn)N,M是PD中點(diǎn).
(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中點(diǎn)
(1)求證:直線MO∥平面PAB;
(2)求證:平面PCD⊥平面ABM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)求證:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•成都模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分別是PB、AD的中點(diǎn),
(I)證明:EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大。

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