Question

14．已知過點(diǎn)P（1，1）且斜率為-t（t＞0）的直線l與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作直線2x+y=0的垂線，垂足分別為D，C，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)l的方程，求出A、B的坐標(biāo)，得到AD和BC的方程，利用平行線間的距離公式求出|DC|，由四邊形ABCD為梯形，代入梯形的面積公式，再使用基本不等式可求四邊形ABCD的面積的最小值．

解答 解：如圖，
設(shè)l的方程為y-1=-t（x-1），
則A（1+$\frac{1}{t}$，0），B（0，1+t）．
從而可得直線AD和BC的方程分別為
x-2y-$\frac{t+1}{t}$=0和x-2y+2（t+1）=0．
又AD∥BC，
∴|DC|=$\frac{|2t+2+1+\frac{1}{t}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|3+2t+\frac{1}{t}|}{\sqrt{5}}$．
又|AD|=$\frac{2+\frac{2}{t}}{\sqrt{5}}$，|BC|=$\frac{t+1}{\sqrt{5}}$，
∴S_{四邊形PRSQ} =$\frac{1}{2}$（$\frac{2+\frac{2}{t}}{\sqrt{5}}+\frac{t+1}{\sqrt{5}}$）•$\frac{3+2t+\frac{1}{t}}{\sqrt{5}}$
=$\frac{1}{5}（t+\frac{1}{t}+\frac{9}{4}）-\frac{1}{80}$≥$\frac{1}{5}（2+\frac{9}{4}）^{2}-\frac{1}{80}$=$\frac{18}{5}$．
∴四邊形PRSQ的面積的最小值為$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的應(yīng)用，平行線間的距離公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．