Question

5．如圖，已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，則該雙曲線離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$
• B． $[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$
• C． $[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$
• D． $[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$

Answer 1

分析 運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義可得，|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，取左焦點(diǎn)F'，連接AF'，BF'，可得四邊形AFBF'為矩形，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得2c|cosα-sinα|=2a，由離心率公式和三角函數(shù)的輔助角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：在Rt△ABF中，|OF|=c，
∴|AB|=2c，
在直角三角形ABF中，∠ABF=α，可得|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，
取左焦點(diǎn)F'，連接AF'，BF'，可得四邊形AFBF'為矩形，
∴||BF|-|AF||=|AF'|-|AF|=2c|cosα-sinα|=2a，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{|cosα-sinα|}=\frac{1}{{\sqrt{2}|cos（α+\frac{π}{4}）|}}$，
∵$\frac{π}{12}≤α≤\frac{π}{6}，\;∴\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{12}$，
∴$cos（α+\frac{π}{4}）∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{1}{2}]，\;\sqrt{2}|cos（α+\frac{π}{4}）|∈[\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
∴$e∈[\sqrt{2}，\sqrt{3}+1]$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和銳角三角函數(shù)的定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．