Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c為常數(shù)，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅是公比不等于1的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證：${S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）確定a₂=1+c，a₅=1+4c，利用a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求c的值，即可寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù){b_n}${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c為常數(shù)，
∴a_n=1+（n-1）c．∴a₂=1=c，a₅=1+4c又a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴（1+c）²=1+4c，解得c=0或c=2當(dāng)c=0時(shí)，a_n+1=a_n不合題意，舍去．
∴c=2∴a_n=2n-1，
（2）a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$，
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$，n∈N^*，
∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求出，會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，考查數(shù)列遞推式的求解及相關(guān)計(jì)算，是一道綜合題．