Question

已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點M、N分別為線段BC、CD上的兩個不同點，且，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由條件可得 ≥，求出的最小值 和最大值，從而求得的最小值．當和 的模最大且夾角最小時， 最大，故當M、N和點C重合時，最大等于2，
再由點M、N分別為線段BC、CD上的兩個不同點，可得的最大小于2，從而得到 的范圍．
解答：解：由題意可得==-2≤1，
∴≥．
設(shè)CM=x，CN=y，則 MN²=x²+y²≤1．
=1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示單位圓面（x²+y²≤1 ）上的點與點（1，1）連線的距離的平方加上2，
故其最小值為+2=5-2，最大值為+2=5+2．
故 的最小值等于==2-．
又當和 的模最大且夾角最小時， 最大，
故當M、N和點C重合時，最大等于•=2，
再由點M、N分別為線段BC、CD上的兩個不同點，可得的最大小于2．
故 的范圍為[2-，2）．
故答案為[2-，2）．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，本題屬于中檔題．