Question

4．在等比數(shù)列{a_n}中，a₃=12，${a_6}=\frac{3}{2}$，在等差數(shù)列{b_n}中，b₂=a₅+1，b₂₄=a₁，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列$\{\frac{{{a_n}•{b_n}}}{192}\}$的前n項和為T_n，求使得T_n＜m對于任意正整數(shù)n恒成立的m最小值．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出a_n，b_n．
（II）$\frac{{a}_{n}•_{n}}{192}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公比為q，則$\left\{\begin{array}{l}{a_3}={a_1}{q^2}=12\\{a_6}={a_1}{q^5}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=48\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=48•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
設(shè){b_n}的公差為d，由條件可得$\left\{\begin{array}{l}{b_2}={b_1}+d=4\\{b_{24}}={b_1}+23d=48\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=2\\ d=2\end{array}\right.$，故b_n=2n．
（II）$\frac{{{a_n}•{b_n}}}{192}=\frac{{48×{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}×2n}}{192}=\frac{n}{2^n}$．
則${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$           ①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$②
由①-②可得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$=$1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
則${T_n}=2-\frac{2+n}{2^n}$，顯然T_n＜2，因此，存在滿足T_n＜m對于任意正整數(shù)n恒成立的正整數(shù)m，且m的最小值為2．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．