Question

f（x）=ax³+3x²-1（a≠0），若a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的極值，由題意可得函數(shù)的極大值＞3即可滿(mǎn)足函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)解，問(wèn)題得以解決

解答： 解：∵f（x）=ax³+3x²-1，
∴f′（x）=3ax²+6x=3x（ax+2）
令f′（x）=0解得x₁=0，x₂=-

2

a

＞0 （a＜0），
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞-

2

a

或x＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜-

2

a

，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有極小值，f（0）=-1，當(dāng)x=-

2

a

函數(shù)有極大值，f（-

2

a

）=

4

a2

-1，
∵a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴

4

a2

-1＞3
解得-1＜a＜0
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）

點(diǎn)評(píng)：本題以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和三次多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．