Question

過點(diǎn)P（2，1）的直線y-1=k（x-2）（k為常數(shù)，k≠）分別交兩坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，若=t+s，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則+的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線AB上且在A、B兩點(diǎn)之間，所以可設(shè) ，其中λ＞0．由此推導(dǎo)出 =+，再結(jié)合已知等式：=t +s ，得到 ，，從而得到t+s=1且t、s都是小于1的正數(shù)．最后利用“1的代換”和基本不等式，可以求出 +的最小值．
解答：解：∵點(diǎn)P在線段AB上，即在直線AB上且在A、B兩點(diǎn)之間，
∴可以設(shè) 且λ＞0，
∵、，
∴，
∴=+，
再結(jié)合題意：=t +s ，得到 ．
∴t+s=1，因?yàn)棣耍?所以t、s都是小于1的正數(shù)，
∴+=（t+s）（ +）=2+（ ），

∵，
∴+≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=s=時(shí)，+的最小值為4．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量基本定理和基本不等式求最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．解題過程中巧妙地避免了運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行繁瑣的代數(shù)化簡，請(qǐng)同學(xué)們注意這點(diǎn)．