已知tanα,tanβ是一元二次方程2mx2+(4m-2)x+2m-3=0的兩個不等實根,求函數(shù)f(m)=5m2+3mtan(α+β)+4的值域.
分析:因為tanα,tanβ是一元二次方程2mx2+(4m-2)x+2m-3=0的兩個不等實根,所以利用韋達定理表示出兩根之和和兩根之積,然后利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡tan(α+β),把表示出的tanα+tanβ和tanαtanβ代入即可得到關(guān)于m的關(guān)系式,把關(guān)于m的關(guān)系式代入f(m)中,得到f(m)關(guān)于m的二次函數(shù),然后再根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實根,所以得到根的判別式大于0,列出關(guān)于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范圍,根據(jù)自變量m的范圍即可求出f(m)的值域.
解答:解:由已知,有
tanα+tanβ=,
tanα•tanβ=,
∴
tan(α+β)=.
又由△>0,知
m∈(-,0)∪(0,+∞),
∴
f(m)=5m2+3m•+4=(m+1)2+3.
∵當
m∈(-,0)∪(0,+∞)時f(m)在兩個區(qū)間上都為單調(diào)遞增,
故所求值域為
(,4)∪(4,+∞).
點評:此題考查學生靈活運用兩角和的正切函數(shù)公式及韋達定理化簡求值,會根據(jù)自變量的范圍求出二次函數(shù)相對應的值域范圍,掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),是一道綜合題.