Question

如圖，已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PB⊥BC（注：如果一條直線垂直于平面內(nèi)任何一條直線，那么稱這條直線垂直于這個(gè)平面）
（1）證明：MN∥面PAD；
（2）若∠PDA=θ，當(dāng)θ為何值時(shí)，MN和AB，PC都垂直？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點(diǎn)E，證明四邊形MNEA是平形四邊形，可得MN∥AE．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得 MN∥面PAD．
（2）當(dāng)θ=45°時(shí)，MN與AB和PC都垂直．理由：當(dāng)θ=45°時(shí)，證明△ANB為等腰三角形，故有MN⊥AB．同理可證△PMC為等腰三角形，可得MN⊥PC，命題得證．

解答：解：（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)NE，AE，
∵N分別是PC的中點(diǎn)，則NE為△PCD的中位線，
∴NE∥CD，且NE=

1

2

CD．
再由M為AB的中點(diǎn)，ABCD為矩形，可得AM∥CD，AM=

1

2

CD，
故有 AM∥NE，AM=NE，
所以，四邊形MNEA是平形四邊形，∴MN∥AE．
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，∴MN∥面PAD．
（2）當(dāng)θ=45°時(shí)，MN與AB和PC都垂直．
理由：由于PA⊥面ABCD，當(dāng)θ=45°時(shí)，PA=AD；
∴PA=BC，PB=AC，
連結(jié)AN，BN，則有Rt△PAC≌Rt△PBC，∴AN=BN，故△ANB為等腰三角形，∴MN⊥AB．
連結(jié)PM、MC，同理可得 Rt△PAM≌Rt△MBC，∴PM=MC，故在等腰PMC中有：MN⊥PC．
從而得到MN和AB，PC都垂直．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，證明兩條直線垂直的方法，等腰三角形的性質(zhì)，屬于中檔題．