如圖,已知幾何體ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是邊長為2的等邊三角形,四邊形ABEF為矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O為AB中點.

(1)求證:AB⊥平面DCO

(2)若M為CD中點,AF=x,則當x取何值時,使AM與平面ABEF所成角為45°?

試求相應的x值的.

(3)求該幾何體在(2)的條件下的體積.

解:(1)因為△ABC為等邊三角形,O為AB中點,故AB⊥CO,

又CD//AF,在矩形ABEF中AB⊥AF,所以AB⊥CD,

由CD∩CO=C,證得AB⊥平面DCO

   (2)設I為EF中點,連接OI,依題意,四邊形

   OIDC為等腰梯形;

在梯形OIDC中過O作OH⊥CD垂足為H,過M作

MG//OG,則MG⊥OI,由(1)可知:面OIDC⊥面ABEF

   因為OIDC∩面ABEF=OI,所以MG⊥面ABEF,

   

連接AC,則∠MAG等于直線AM與平面ABEF所成角

因為在正三角形ABC中,AO=1,CO=,在等腰梯形OIDC中CH=1,OG=0.5x;

所以在直角三角形OCH中,OH=,即MG=;

在直角三角形AOG z中,AG=

由tan∠MAG=

(3)連接AH、BH,由(1)(2)可知,

該幾何體的體積等于兩個以三角形ABH為底面,

CH為高的三棱錐的體積與一個以三角形ABH為底面,AF為高的三棱柱的體積之和.

解二:建坐標系(略)

練習冊系列答案
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(08年長沙一中一模理)如圖,已知幾何體中,都是邊長為2的等邊三角形,四邊形為矩形,且,OAB中點.

(1)求證:平面;

(2)若MCD中點,,則當取何值時,使AM與平面ABEF所成角為?試求相應的值.

 

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