雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則雙曲線C的離心率為
7
7
．
分析：根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=
7
a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率．
解答：解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF1|-|BF2|=2a，
∵△ABF2是等邊三角形，即|BF2|=|AB|
∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a
又∵|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-
1
2
）=28a2，解之得c=
7
a，
由此可得雙曲線C的離心率e=
c
a
=
7

故答案為：
7
點評：本題給出經(jīng)過雙曲線左焦點的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點構(gòu)成等邊三角形，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一條漸近線與拋物線x=y2的一個交點的橫坐標(biāo)為
x
 
0
，若
x
 
0
＞
1
2
，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蘭州模擬）已知F為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為直線x=-
a2
c
上一點，O為坐標(biāo)原點，已知
OP
=
OF
+
OM
，且|
OF
|=|
OM
|，則雙曲線C的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．若在雙曲線的右支上存在一點P，使得|PF1|=3|PF2|，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，左右頂點分別為A1，A2，過F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線相交于P，若P恰好在以A1A2為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線在第一象限內(nèi)的部分上一動點，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，A為雙曲線C的右準(zhǔn)線與x軸的交點，e是雙曲線C的離心率，則∠APF的余弦的最小值為（　�。�

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