Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）
的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=e^x；   
②f（x）=lnx；
③f（x）=x³；   
④f（x）=cos

π

2

x．
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

③④

（填上所有正確的序號）．

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=e^x存在“穩(wěn)定區(qū)間”，則e^a+1=a，e^b+1=b，即e^x=x-1有兩個解，即函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=x-1的圖象有兩個交點，這與函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=x-1的圖象沒有交點相矛盾，故假設錯誤，即f（x）=e^x不存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
②中，f（x）=lnx，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內的增函數(shù)，故有l(wèi)na=a，lnb=b，即方程lnx=x有兩個解，這與y=lnx和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
③中，f（x）=x³存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如當0＜x＜1時，0＜y＜1．“穩(wěn)定區(qū)間”：[0，1]；
④中，由余弦型函數(shù)的性質我們易得，M=[0，1]為函數(shù)f（x）=cos

π

2

x的“穩(wěn)定區(qū)間”
故答案為：③④

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及其構造要求，在說明一個函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵．