Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=滿足條件：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求f(0)；(2) 求證：是奇函數(shù)；(3) 若時(shí)，，求在上的值域.

Answer 1

（1）f(0)=0；(2)證明見解析；(3)證明見解析；值域[-4，2]。

本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其運(yùn)用，考查靈活賦值求函數(shù)值以及運(yùn)用恒等式靈活變形證明函數(shù)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方程的根的個(gè)數(shù)，本題涉及到的考點(diǎn)較多，知識(shí)性與技巧性都很強(qiáng)，是知識(shí)完善結(jié)合的一個(gè)好題．
（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）通過賦值法可知函數(shù)的奇偶性
（3）根據(jù)定義法證明函數(shù)的單調(diào)性然后，利用單調(diào)性得到值域。
（1）f(0)=0；3分
(2)證明略；9分
(3)證明單調(diào)性 13分
值域[-4，2]  15分