Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=r•a_n+r（n∈N^*，r∈R且r≠0），則“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的（　�。�

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：把r=1代入給出的遞推式，直接判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，再由給出的遞推式，當(dāng)r≠1時(shí)，配方后得到an+1+

r

r-1

=r(an+

r

r-1

)，說明數(shù)列{an+

r

r-1

}是等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后可得a_n，由a_n看出，當(dāng)r=

1

2

時(shí)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，從而說明“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的不必要條件．

解答：解：當(dāng)r=1時(shí)，等式a_n+1=r•a_n+r化為a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）．
所以，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差為1的等差數(shù)列；
“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的充分條件；
當(dāng)r不等于1時(shí)，
由an+1=ran+r=ran+

r2

r-1

-

r

r-1

，得：an+1+

r

r-1

=r(an+

r

r-1

)，
所以，數(shù)列{an+

r

r-1

}是首項(xiàng)為1+

r

r-1

=

2r-1

r-1

，公比為r的等比數(shù)列
所以，an+

r

r-1

=

2r-1

r-1

•rn-1，
an=

r

1-r

+

2r-1

r-1

•rn-1．
當(dāng)r=

1

2

時(shí)，a_n=1．{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列．
因此，“r=1”不是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的必要條件．
綜上可知，“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的充分但不必要條件．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了必要條件、充分條件及充要條件，解答的關(guān)鍵是判斷必要性，也是該題的難點(diǎn)，考查了由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，對于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般都可轉(zhuǎn)化成一個(gè)新的等比數(shù)列．此題是中檔題．