Question

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

3

2

，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱．一曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點(diǎn)S(0，-

3

)，T(0，

3

)，求∠SPT的最小值；
（3）若點(diǎn)F(1，

3

2

)是曲線E上的一點(diǎn)，設(shè)M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN的斜率是否為定值，如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

3

2

+

( 3 2 )2+4

=4＞2=|AB|，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，b=

3

，由此能求出曲線E的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是曲線E上的任意一點(diǎn)，則有

x02

4

+

y02

3

=1，y02=3(1-

x02

4

)．由橢圓的對(duì)稱性設(shè)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即0＜x₀≤2，則kPS=

y0+ 3

x0

，kPT=

y0- 3

x0

，由到角公式得tan∠SPT=

kPS-kPT

1+kPS•kPT

=

y0+ 3 x0 - y0- 3 x0

1+ y0+ 3 x0 • y0- 3 x0

=

2 3 x0

x02+y02-3

=

2 3 x0

x02- 3 4 x02

=

8 3

x0

＞0．由此能求出∠SPT的最小值．
（3）由M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，設(shè)直線FM的方程為y=k(x-1)+

3

2

．由

y=k(x-1)+ 3 2 x2 4 + y2 3 =1

得（4k²+3）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0．由此能夠推導(dǎo)出直線MN的斜率為定值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

3

2

+

( 3 2 )2+4

=4＞2=|AB|…（1分）
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，b=

3

…（2分）
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程即曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是曲線E上的任意一點(diǎn)，則有

x02

4

+

y02

3

=1，∴y02=3(1-

x02

4

)
由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即0＜x₀≤2
則kPS=

y0+ 3

x0

，kPT=

y0- 3

x0

，由到角公式得…（4分）tan∠SPT=

kPS-kPT

1+kPS•kPT

=

y0+ 3 x0 - y0- 3 x0

1+ y0+ 3 x0 • y0- 3 x0

=

2 3 x0

x02+y02-3

=

2 3 x0

x02- 3 4 x02

=

8 3

x0

＞0
∴∠SPT為銳角…（6分）
∵0＜x₀≤2，∴當(dāng)x₀=2時(shí)，(tan∠SPT)min=4

3

…（7分）
∴∠SPT的最小值為arctan4

3

…（8分）
（3）∵M(jìn)，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，且直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，則直線FM，F(xiàn)N的斜率存在且不為零．
設(shè)直線FM的方程為y=k(x-1)+

3

2

由

y=k(x-1)+ 3 2 x2 4 + y2 3 =1

消y，整理得（4k²+3）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0①…（10分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），又F(1，

3

2

)是直線FM與橢圓的交點(diǎn)，∴方程①的兩根為1，x₁
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1=

4k2-12k-3

4k2+3

②…（11分）
∵直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，∴直線FN的斜率為-k，
以-k代替②中的k得x2=

4k2+12k-3

4k2+3

…（12分）
又y1=k(x1-1)+

3

2

，y2=-k(x2-1)+

3

2

∴y1-y2=k(x1+x2-2)=k•(

8k2-6

4k2+3

-2)=

-12k

4k2+3

而x1-x2=

-24k

4k2+3

，∴y1-y2=

1

2

(x1-x2)
∴直線MN的斜率為定值，其定值為

1

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．