Question

2．求函數(shù)f（x）=sin2x-x，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最值．

Answer 1

分析 由題意求導f′（x）=2cos2x-1并令其為0，從而求出函數(shù)的駐點，求出函數(shù)在端點及駐點處的函數(shù)值比較大小即可．

解答 解：∵f（x）=sin2x-x，
∴令f′（x）=2cos2x-1=0解得，
x=±$\frac{π}{6}$；
而f（-$\frac{π}{2}$）=sin（-π）+$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$；
f（-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$；
f（$\frac{π}{2}$）=sin（π）-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$；
f（$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$；
故函數(shù)f（x）=sin2x-x（-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$）的最大值為$\frac{π}{2}$，
最小值為-$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．