Question

13．隨著旅游觀念的轉(zhuǎn)變和旅游業(yè)的發(fā)展，國(guó)民在旅游休閑方面的投入不斷增多，民眾對(duì)旅游的需求也不斷提高，安慶某社區(qū)居委會(huì)統(tǒng)計(jì)了2011至2015年每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)資料如表：

年份（x）	2011	2012	2013	2014	2015
家庭數(shù)（y）	6	10	16	22	26

（Ⅰ）從這5年中隨機(jī)抽取兩年，求外出旅游的家庭至少有1年多于20個(gè)的概率；
（Ⅱ）利用所給數(shù)據(jù)，求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線方程$\hat y=bx+a$，并判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求出的回歸直線方程估計(jì)該社區(qū)2016年在春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)．
參考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-{{\bar x}^2}}}}$，$\overline{y}=b\bar x+a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列舉法求出基本事件數(shù)，再計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值；
（Ⅱ）由題目中的公式計(jì)算$\overline x$、$\overline y$，求出回歸系數(shù)$\hat b$、$\hat a$，寫出回歸直線方程，由此判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（III）由回歸方程計(jì)算x=2016時(shí)y的值即可．

解答 解：（Ⅰ）從這5年中任意抽取2年，所有的事件有：
（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），
（2012，2013），（2012，2014）．（2012，2015），
（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10種，
外出旅游的家庭數(shù)至少有1年多于20個(gè)的事件有
（2011，2014），（2011，2015），（2012，2014），（2012，2015），
（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7種；
故概率為P=0.7；（4分）
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)計(jì)算得 $\overline x$=2013，$\overline y$=16，
$\sum_{i=1}^n{（{x_i}}-\overline x）（{y_i}-\overline y）$=（-2）（-10）+（-1）（-6）+1×6+2×10=52，
$\sum_{i=1}^n{（{x_i}}-\overline x{）^2}$=（-2）²+（-1）²+1²+2²=10，
所以 $\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x{）^2}}}}$=$\frac{52}{10}$=5.2，
 $\hat a$=16-5.2×2013=-10451.6，
所以回歸直線方程為y=5.2x-10451.6，
因?yàn)?\hat b$=5.2＞0，所以外出旅游的家庭數(shù)與年份之間是正相關(guān)；（10分）
（III）2016年該社區(qū)在春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)的估計(jì)值為
y=5.2×2016-10451.6≈32，（12分）
答：估計(jì)該社區(qū)2016年在春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)為32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用列舉法求古典概型的概率以及求線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．