Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-2x，當(dāng)a=-3時，求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）h（x）定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有唯一的零點(diǎn)，等價于$alnx=\frac{1}{x}$有唯一的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=xlnx，研究函數(shù)的圖象求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）h（x）定義域?yàn)椋?，+∞），$h'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-2=-\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x^2}=-\frac{（2x-1）（x-1）}{x^2}$…（2分）
∴h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，\frac{1}{2}}）$和（1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）問題等價于$alnx=\frac{1}{x}$有唯一的實(shí)根
顯然a≠0，則關(guān)于x的方程$xlnx=\frac{1}{a}$有唯一的實(shí)根•…（6分）
構(gòu)造函數(shù)φ（x）=xlnx，則φ'（x）=1+lnx，
由φ'（x）=1+lnx=0，得x=e^-1
當(dāng)0＜x＜e^-1時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x＞e^-1時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增
所以φ（x）的極小值為φ（e^-1）=-e^-1•…（8分）
如圖，作出函數(shù)φ（x）的大致圖象，則要使方程$xlnx=\frac{1}{a}$的唯一的實(shí)根，
只需直線$y=\frac{1}{a}$與曲線y=φ（x）有唯一的交點(diǎn)，則$\frac{1}{a}=-{e^{-1}}$或$\frac{1}{a}＞0$
解得a=-e或a＞0
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-e}∪（0，+∞）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，本題是一道綜合題．