Question

9．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C₁和C₂公共弦的長度．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1消去參數(shù)α可得普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標方程．
（II）兩圓的直角坐標方程相減可得公共弦所在的直線方程：2x-4y+3=0．求出圓心C₁到公共弦所在的直線的距離d．利用公共弦長=2$\sqrt{{r}_{1}^{2}-gao6ayk^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)α可得普通方程：（x-1）²+y²=4，即x²+y²-2x=3．
曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標方程：x²+y²=4y，配方為x²+（y-2）²=4．
（II）x²+y²-2x=3與x²+y²=4y相減可得公共弦所在的直線方程：2x-4y+3=0．
圓心C₁（1，0）到公共弦所在的直線的距離d=$\frac{|2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴公共弦長=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{11}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩相交圓的公共弦長、點到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．