Question

1．某種新產(chǎn)品投放市場的100天中，前40天價格呈直線上升，而后60天其價格呈直線下降，現(xiàn)統(tǒng)計出其中4天的價格如下表：

時間	第4天	第32天	第60天	第90天
價格（千元）	23	30	22	7

（Ⅰ）寫出價格f（x）關于時間x的函數(shù)關系式（x表示投放市場的第x天，x∈N^*）；
（Ⅱ）銷售量g（x）與時間x的函數(shù)關系式為$g（x）=-\frac{1}{3}x+\frac{109}{3}（{1≤x≤100，x∈{N^*}}）$，則該產(chǎn)品投放市場第幾天的銷售額最高？最高為多少千元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）價格直線上升，直線下降，說明價格函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，由表中對應關系用待定系數(shù)法易求f（x）的表達式；
（Ⅱ）由銷售額=銷售量×時間，得日銷售額函數(shù)S（x）的解析式，從而求出S（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，當1≤x≤40時，一次函數(shù)y=ax+b過點A（4，23），b（32，20），
代入函數(shù)求得a=$\frac{1}{4}$，b=22；      …（2分）
當40＜x≤100時，一次函數(shù)y=ax+b過點C（60，22），B（90，7），
代入函數(shù)求得a=-$\frac{1}{2}$，b=52     …（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+22，1≤x≤40，x∈{N}_{+}}\\{-\frac{1}{2}x+52，40＜x≤100，x∈{N}_{+}}\end{array}\right.$  …（5分）
（Ⅱ）設日銷售額為S（x），則當1≤x≤40時，S（x）=f（x）g（x）=-$\frac{1}{12}$（x²-21x-9592），
當x=10或11時，[S（x）]_max=808.5（千元），…（8分）
當40＜x≤100時，S（x）=f（x）g（x）=-$\frac{1}{6}（{x}^{2}-213x-11336）$，
當x=41時，[S（x）]_max=714（千元）       …（10分）
∵714＜808.5，
∴日銷售額最高是在第10天或第11天，最高值為808.5千元．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)模型的構建，考查求分段函數(shù)的解析式和最大值的應用題，考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，屬于中檔題．