Question

ABC的面積S滿足

3

≤S≤3，且

AB

•

BC

=6，AB與BC的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍．
（2）求函數(shù)f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

Answer 1

分析：（1）數(shù)量積列等式，三角形面積列不等式，消元可解θ的取值范圍．
（2）通過(guò)三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（θ），根據(jù)θ的取值范圍，求最小值．

解答：解：（1）由題意知：

AB

•

BC

=|

AB

||

BC

|cosθ=6，①
S=

1

2

|

AB

||

BC

|sin（π-θ）
=

1

2

|

AB

||

BC

|sinθ，②
②÷①得

S

6

=

1

2

tanθ，即3tanθ=S．
由

3

≤S≤3，得

3

≤3tanθ≤3，即

3

3

≤tanθ≤1．
又θ為

AB

與

BC

的夾角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[

π

6

，

π

4

]．
（2）f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+

2

sin（2θ+

π

4

）．
∵θ∈[

π

6

，

π

4

]，∴2θ+

π

4

∈[

7π

12

，

3π

4

]．
∴當(dāng)2θ+

π

4

=

3π

4

，θ=

π

4

時(shí)，f（θ）取最小值3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式等知識(shí)，是中檔題．