數(shù)列{2n-1}的前n項組成集合An={1,3,7,…,2n-1}(n∈N*),從集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)個數(shù),其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記Sn=T1+T2+…+Tn.例如:當(dāng)n=1時,A1={1},T1=1,S1=1;當(dāng)n=2時,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7.
(Ⅰ)求S3;
(Ⅱ)猜想Sn,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(Ⅰ)當(dāng)n=3時,A3={1,3,7},
T1=1+3+7=11,T2=1×3+1×7+3×7=31,T3=1×3×7=21,
所以S3=11+31+21=63.
(Ⅱ)由S1=1=21-1=-1,S2=7=23-1=-1,S3=63=26-1=-1,
猜想 Sn=2
n(n+1)
2
-1,下面證明:(1)易知n=1時成立.
(2)假設(shè)n=k時,Sn=Sk=2
k(k+1)
2
-1,
則n=k+1時,Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1
=[T1′+(2k+1-1)]+[T2′+(2k+1-1)T1′]+[T3′+(2k+1-1)T2′]+…+[Tk′+(2k+1-1)]
(其中Ti′,i=1,2,…,k,為n=k時可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk),
=( T1′+T2′+T3′+…+Tk′)+(2k+1-1)+(2k+1-1)( T1′+T2′+T3′+…+Tk′)
=Sk+(2k+1-1)+(2k+1-1)Sk =2k+12
k(k+1)
2
)+(2k+1-1)
=2k+12
k(k+1)
2
=2
(k+1)(k+2)
2
-1,即n=k時,
Sk+1=2
(k+1)(k+2)
2
-1也成立,
綜合(1)(2)知對n∈N*,Sn=2
n(n+1)
2
-1成立.
所以,Sn=2
n(n+1)
2
-1.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{2n-1}的前n項組成集合An={1,3,7,…,2n-1}(n∈N*),從集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)個數(shù),其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記Sn=T1+T2+…+Tn.例如:當(dāng)n=1時,A1={1},T1=1,S1=1;當(dāng)n=2時,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7.
(Ⅰ)求S3;
(Ⅱ)猜想Sn,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{2n-1}的前2011項中任意選取若干項相乘(當(dāng)只取到一項時,乘積就為所選項本身),記所有這樣的乘積和為S,則log2(S+1)的值為(  )
A、1005×2011B、1006×2011C、2010×2011D、2011×2011

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•朝陽區(qū)二模)數(shù)列{2n-1}的前n項1,3,7,…,2n-1組成集合An={1,3,7,…,2n-1}(n∈N*),從集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)個數(shù),其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記Sn=T1+T2+…+Tn.例如當(dāng)n=1時,A1={1},T1=1,S1=1;當(dāng)n=2時,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7.則當(dāng)n=3時,S3=
63
63
;試寫出Sn=
2
n(n+1)
2
-1
2
n(n+1)
2
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•福建)閱讀如圖所示的程序框圖,若輸入的k=10,則該算法的功能是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•通州區(qū)一模)對于數(shù)列{2n-1}的前10項a1,a2,…,a10,如果遵循右側(cè)算法框圖的運算,那么輸出的結(jié)果s=
10
10

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