Question

數(shù)列{2ⁿ-1}的前n項(xiàng)組成集合An={1，3，7，…，2n-1}(n∈N*)，從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T_k（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如：當(dāng)n=1時(shí)，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；當(dāng)n=2時(shí)，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求S₃；
（Ⅱ）猜想S_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63．
（Ⅱ）由S₁=1=2¹-1=-1，S₂=7=2³-1=-1，S₃=63=2⁶-1=-1，
猜想 S_n=2

n(n+1)

2

-1，下面證明：（1）易知n=1時(shí)成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，S_n=S_k=2

k(k+1)

2

-1，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]
（其中T_i′，i=1，2，…，k，為n=k時(shí)可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T_k），
=（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k =2^k+1（2

k(k+1)

2

）+（2^k+1-1）
=2^k+1•2

k(k+1)

2

=2

(k+1)(k+2)

2

-1，即n=k時(shí)，
S_k+1=2

(k+1)(k+2)

2

-1也成立，
綜合（1）（2）知對n∈N^*，S_n=2

n(n+1)

2

-1成立．
所以，S_n=2

n(n+1)

2

-1．