Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，E是線段SD上一點.

（1）若E是SD的中點，求證：SB∥平面ACE；

（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝2，且DEDS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意連結BD，交AC于點O，連結OE，可證OE∥SB，SB∥平面ACE得證；

（2）建立空間直角坐標系，求得平面SAC與平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可.

（1）證明：連結BD，交AC于點O，連結OE，

∵底面ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，

∵E是SD的中點，∴OE∥SB，

∵SB平面ACE，OE平面ACE，

∴SB∥平面ACE.

（2）∵SA⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

∴SA⊥AC，

在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，

∴AC＝2，

∵AB＝AD＝2，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴BD＝2，

以O為原點，OD為x軸，OA為y軸，過O作AS的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，

O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），

（，1，2），（，），

（），

∵BD⊥平面SAC，取平面SAC的一個法向量（），

設平面ACE的法向量（x，y，z），

則，取x＝4，得（4，0，），

設二面角S﹣AC﹣E的平面角為θ，

則cosθ.

∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值為.