Question

已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P（-3，

3

）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函數(shù)y=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出α的三角函數(shù)值，通過二倍角的正弦求解即可．
（2）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡表達(dá)式，結(jié)合角的范圍求解三角函數(shù)的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）因為角α終邊經(jīng)過點P(-3，

3

)，
所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

…（3分）
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-

3

2

+

3

3

=-

3

6

…（6分）
（Ⅱ） f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R
∴y=

3

cos(

π

2

-2x)-2cos2x=

3

sin2x-1-cos2x=2sin(2x-

π

6

)-1…（9分）
∵0≤x≤

1

2

π，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
∴-2≤2sin(2x-

π

6

)-1≤1
故函數(shù)y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)在區(qū)間[0，

1

2

π]上的值域為[-2，1]．…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，考查基本知識的應(yīng)用．