Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）到直線l：x-y+2=0的距離為

3 2

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若M是拋物線C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，圓M與y軸相切．
（i）試證：存在一定圓N與圓M相外切，并求出圓N的方程；
（ii）若點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，A，B是圓N上兩點(diǎn)，且

AB

=λ

BN

，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程為y²=4cx，由

|c-0+2|

2

=

3 2

2

，能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)圓M與y軸的切點(diǎn)是點(diǎn)M′，連結(jié)MM′交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M''，則|MF|=|MM''|=r_M+1，由已知條件推導(dǎo)出圓N即為圓F，由此能求出圓N的方程．
（ii）由

AB

=λ

BN

，知AB為圓N直徑，由此能求出

PA

•

PB

的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：依題意，設(shè)拋物線C的方程為y²=4cx，
由

|c-0+2|

2

=

3 2

2

，結(jié)合c＞0，解得c=1．
所以拋物線C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)圓M與y軸的切點(diǎn)是點(diǎn)M′，
連結(jié)MM′交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M''，則|MF|=|MM''|=r_M+1，
所以圓M與以F為焦點(diǎn)，1為半徑的圓相切，圓N即為圓F，
圓N的方程為（x-1）²+y²=1．…（8分）
（ii）解：由

AB

=λ

BN

，知AB為圓N直徑，…（9分）
從而

PA

•

PB

=（

PN

+

NA

）•（

PN

+

NB

）
=

PN

2+

PN

•（

NA

+

NB

）+

NA

•

NB

=

PN

2-1≥（

3 2

2

）²-1=

7

2

．
所以

PA

•

PB

的取值范圍是[

7

2

，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查兩圓外切的證明，考查圓的方程的求法，考查向量數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．