Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足遞推關系an+1=

2 a 2 n +3an+m

an+1

(n∈N*)．
（1）當m=1時，求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）當n∈N^*時，數(shù)列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范圍；
（3）在-3≤m＜1時，證明

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的遞推關系找尋數(shù)列相鄰項之間的關系是解決本題的關鍵，注意因式分解和整體思想的運用，轉化為特殊數(shù)列求出通項公式；
（2）將該不等式進行等價轉化，利用分離變量思想轉化為函數(shù)恒成立問題，從而求出m的取值范圍；
（3）將每一項進行適當放縮轉化是解決該問題的關鍵，通過放縮轉化化為特殊數(shù)列進行求和并證明．

解答：解：（1）m=1，由an+1=

2 a 2 n +3an+1

an+1

(n∈N*)，
得：an+1=

2(an+1)(an+1)

an+1

=2a_n+1，所以a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2為首項，公比也是2的等比例數(shù)列．
于是a_n+1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n．而a₁=1，知a_n＞0，∴

2 a 2 n +3an+m

an+1

≥a_n，即m≥-a_n²-2a_n
依題意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，即滿足題意的m的取值范圍是[-3，+∞）．
（3）-3≤m＜1時，由（2）知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
設數(shù)列cn=

1

an+1

，則cn+1=

1

an+1+1

=

1

2 a 2 n +3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，即m-1＜0，
故cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2

•

1

an+1

=

1

2

cn，
∴c1=

1

2

，c2＞

1

2

c1=

1

22

，c3＞

1

2

c2＞

1

23

，…，cn＞

1

2

cn-1＞

1

2n

(n≥2)
∴c1+c2+…+cn=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＞

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
即在-3≤m＜1時，有

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

成立．

點評：本題考查給出數(shù)列的遞推關系，考查根據(jù)數(shù)列的遞推關系確定數(shù)列的通項公式的方法，關鍵要轉化為特殊數(shù)列，考查學生的轉化與化歸思想，處理數(shù)列恒成立問題的函數(shù)思想．放縮法證明不等式的思想，做好這類問題的關鍵是向特殊數(shù)列的轉化．