Question

已知向量=（sin，1），=（cos，cos²），f（x）=•．
（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足acosC+c=b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后將所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，將sin（+）的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而確定出B的范圍，得出+的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即為f（B）的范圍．
解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos²），
∴f（x）=•=sincos+cos²=sin+cos+=sin（+）+，
又f（x）=1，
∴sin（+）=，（4分）
∴cos（x+）=cos2（+）=1-2sin²（+）=；（6分）
（2）∵cosC=，acosC+c=b，
∴a•+c=b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA==，
又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）
又∵0＜B＜，
∴＜+＜，
∴f（B）∈（1，）．（12分）
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．