Question

14．$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$是空間的一個(gè)單位正交基底，$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$下的坐標(biāo)為（2，1，5），則$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐標(biāo)為（　　）

• A． （-1，2，3）
• B． （1，-2，3）
• C． （1，2，-3）
• D． （-3，2，1）

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{p}$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐標(biāo)為（x，y，z），由$\overrightarrow{p}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+5$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）+y（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）+z（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），列出方程組，能求出結(jié)果．

解答 解：∵$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$是空間的一個(gè)單位正交基底，
$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$下的坐標(biāo)為（2，1，5），
∴$\overrightarrow{p}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+5$\overrightarrow{c}$，
設(shè)$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐標(biāo)為（x，y，z），
則$\overrightarrow{p}$=x（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）+y（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）+z（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），
∴2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+5$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）+y（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）+z（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）=（x+z）$\overrightarrow{a}$+（x+y）$\overrightarrow$+（y+z）$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=x+z}\\{1=x+y}\\{5=y+z}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=2，z=3，
∴$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐標(biāo)為（-1，2，3）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量基本定理及其意義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意向量相等的合理運(yùn)用．