Question

14．已知函數(shù)f（x）=3sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），其中0＜ω＜2，若點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）為函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心．（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）的周期和單調(diào)增區(qū)間；
（3）求f（x）≥$\frac{3}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，求得ω的取值范圍，0＜ω＜2，0＜ω＜2，求得ω=1，
（2）寫出函數(shù)解析式，$T=\frac{2π}{ω}$=π，求得周期，由正弦函數(shù)圖形求得單調(diào)遞增區(qū)間，
（3）f（x）≥$\frac{3}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象求得x的解集．

解答 解：（1）點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）為函數(shù)f（x）函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，
∴f（-$\frac{π}{6}$）=0，即sin（-$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}$）=0，
∴-$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
ω=1-3k，k∈Z，
0＜ω＜2，ω=1，
∴ω=1，
（2）f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$T=\frac{2π}{ω}$=π，
函數(shù)的周期為π，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
-$\frac{5π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z，
（3）f（x）≥$\frac{3}{2}$即3sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{3}{2}$，
$\frac{π}{6}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}+2kπ$，k∈Z，
f（x）≥$\frac{3}{2}$的解集是x∈[$\frac{π}{6}+2kπ$，$\frac{5π}{6}+2kπ$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求正弦函數(shù)的解析式、周期和單調(diào)區(qū)間及根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)的解集，屬于中檔題．