已知函數(shù)f(x)=x2e-ax(a>0),求函數(shù)在[1,2]上的最大值.
當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的最大值為4e-2a,當(dāng)1≤a≤2時(shí),f(x)的最大值為4a-2e-2,
當(dāng)a>2時(shí),f(x)的最大值為e-a.
∵f(x)=x2e-ax(a>0),
∴f′(x)=2xe-ax+x2·(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 3分
令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.
∴f(x)在(-∞,0),上是減函數(shù),
在上是增函數(shù).
①當(dāng)0<<1,即a>2時(shí),f(x)在(1,2)上是減函數(shù),
∴f(x)max=f(1)=e-a. 8分
②當(dāng)1≤≤2,即1≤a≤2時(shí),
f(x)在(1, )上是增函數(shù),在(,2)上是減函數(shù),
∴f(x)max=f()=4a-2e-2. 12分
③當(dāng)>2時(shí),即0<a<1時(shí),f(x)在(1,2)上是增函數(shù),
∴f(x)max=f(2)=4e-2a.
綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的最大值為4e-2a,
當(dāng)1≤a≤2時(shí),f(x)的最大值為4a-2e-2,
當(dāng)a>2時(shí),f(x)的最大值為e-a. 14分
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x |
a |
b |
x |
4c2 |
k(k+c) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022
已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題
x |
a |
b |
x |
4c2 |
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