Question

函數(shù)y=sinx+

2

sinx

的值域?yàn)?div id="ecamacs" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：用換元法，設(shè)t=sinx，t∈[-1，1]；把函數(shù)y=sinx+

2

sinx

化為y=t+

2

t

（t≠0），利用函數(shù)的單調(diào)性求出y的值域．

解答： 解：設(shè)t=sinx，t∈[-1，1]；
∴函數(shù)y=sinx+

2

sinx

可化為
y=t+

2

t

，（t≠0）；
∴y′=1-

2

t2

，
當(dāng)t∈[-1，0）時(shí)，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)，∴y≤-3；
當(dāng)t∈（0，1]時(shí)，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)，∴y≥3；
∴函數(shù)y的值域?yàn)椋?∞，-3]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域的問題，解題時(shí)應(yīng)考慮函數(shù)sinx的有界性，是基礎(chǔ)題．