Question

函數(shù)f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a等于（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．±1

Answer 1

分析：利用函數(shù)f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），結(jié)合在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可求得a的值．

解答：解：f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

=x-

a

x

+(1-a2)
∵函數(shù)f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴-x+

a

x

+(1-a2)=-[x-

a

x

+(1-a2)]
∴1-a²=0
∴a=±1
a=1時(shí)，f(x)=x-

1

x

，f′（x）=1+

1

x2

＞0，∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
a=-1時(shí)，f(x)=x+

1

x

，f′（x）=1-

1

x2

，∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上知，a=1
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合，考查奇函數(shù)的定義，屬于中檔題．