Question

【題目】《復(fù)仇者聯(lián)盟4：終局之戰(zhàn)》是安東尼·羅素和喬·羅素執(zhí)導(dǎo)的美國(guó)科幻電影，改編自美國(guó)漫威漫畫，自2019年4月24日上映以來(lái)票房火爆.某電影院為了解在該影院觀看《復(fù)仇者聯(lián)盟4》的觀眾的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾的年齡，并分成，，，，，，七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這100名觀眾年齡的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）、中位數(shù)；

（2）該電影院擬采用抽獎(jiǎng)活動(dòng)來(lái)增加趣味性，觀眾可以選擇是否參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)（不參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)按原價(jià)購(gòu)票），活動(dòng)方案如下：每張電影票價(jià)格提高10元，同時(shí)購(gòu)買這樣電影票的每位觀眾可獲得3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)1次則獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金元，中獎(jiǎng)2次則獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金元，中獎(jiǎng)三次則獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金元，其中且，已知觀眾每次中獎(jiǎng)的概率均為.

①以某觀眾三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望為評(píng)判依據(jù)，若要使抽獎(jiǎng)方案對(duì)電影院有利，則最高可定為多少；

②據(jù)某時(shí)段內(nèi)的統(tǒng)計(jì)，當(dāng)時(shí)該電影院有600名觀眾選擇參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并且每增加1元，則參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的觀眾增加100人.設(shè)該時(shí)間段內(nèi)觀影的總?cè)藬?shù)不變，抽獎(jiǎng)活動(dòng)給電影院帶來(lái)的利潤(rùn)的期望為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①最高定為17元，才能使抽獎(jiǎng)方案對(duì)電影院有利，②時(shí)利潤(rùn)最大，為.

【解析】

（1）由頻率分布直方圖求平均數(shù)以及中位數(shù)的方法求解即可；

（2）①設(shè)觀眾三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量，可能的取值為0，，，，求出可能取值對(duì)應(yīng)的概率，得出期望，使期望小于等于10，得出對(duì)電影院有利時(shí)的最大值；

②由期望的值以及題設(shè)條件得出的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出的最大值.

（1）平均數(shù)，

前三組的頻率之和為

前四組為

故中位數(shù)落在第4組

設(shè)中位數(shù)為，則

解得，即中位數(shù)為.

（2）①設(shè)觀眾三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量，可能的取值為0，，，

所以，

令，解得

所以最高定為17元，才能使抽獎(jiǎng)方案對(duì)電影院有利.

②.

為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸

時(shí)，，時(shí)，.

，因此時(shí)利潤(rùn)最大，為