Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0；若P=f（

1

5

）+f（

1

11

），Q=f（

1

2

），R=f（0）；則P，Q，R的大小關(guān)系為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y，可求得f（0）=0，令x=0，可得f（-y）=-f（y），判斷出f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0
可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，有f（x）＜0．令x=

1

n

，y=

1

n+1

，則f（

1

n

）-f（

1

n+1

）=f（

1

n2+n-1

），求出f（

1

5

）+f（

1

11

），從而可將進(jìn)行比較．

解答： 解：∵定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
∴令x=y，則f（x）-f（x）=f（0），即f（0）=0，
令x=0，則f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y），
∴f（x）在（-1，1）是奇函數(shù)，
∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，有f（x）＜0．
令x=

1

n

，y=

1

n+1

，則f（

1

n

）-f（

1

n+1

）=f（

1 n - 1 n+1

1- 1 n • 1 n+1

）=f（

1

n2+n-1

），
∴f（

1

5

）+f（

1

11

）=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）=f（

1

2

）-f（

1

4

），
∴P-Q=-f（

1

4

）＞0，P＞Q，
∵P，Q＜0，
∴R＞P＞Q．
故答案為：R＞P＞Q．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．