Question

【題目】設 ．有序數組 經m次變換后得到數組 ，其中 ， （ 1，2， ，n）， ， ．
例如：有序數組 經1次變換后得到數組 ，即 ；經第2次變換后得到數組 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求證： ，其中 1，2， ，n．（注：當 時， ， 1，2， ，n，則 ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意，

經1次變換為： ，

經2次變換為： ，

經3次變換為： ，

所以 ．

（2）

下面用數學歸納法證明對 ， ，其中 ．

（i）當 時， ，其中 ，結論成立；

（ii）假設 時， ，其中 ．

則 時，

，

所以結論對 時也成立．

由（i）（ii）知， ， ，其中 ．

【解析】（1.）將i=1.2.3..依次代入 ，當i=3時可得到 .
（2.）用數學歸納法證明，變換規(guī)律為：前一次的第二個值通過變換法則b變換后成為下一次變換的第一個值。