Question

8．已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-a≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值為-$\frac{1}{4}$，則正數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{7}{6}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=$\frac{y+1}{x+1}$表示過(guò)點(diǎn)（x，y）與（-1．-1）連線的斜率，只需求出可行域內(nèi)的點(diǎn)與（-1，-1）連線的斜率即可．作出最優(yōu)解，代入方程求解a即可．

解答 解：實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-a≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$的可行域如圖：
∵z=$\frac{y+1}{x+1}$表示過(guò)點(diǎn)（x，y）與（-1．-1）連線的斜率，
易知a＞0，所以可作出可行域，可知可行域的A與（-1，-1）連線的斜率最小，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-a=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$解得A（1+$\frac{a}{4}$，$\frac{a}{2}-2$）
z=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值為-$\frac{1}{4}$，
即（$\frac{y+1}{x+1}$）min=$\frac{\frac{a}{2}-2+1}{\frac{a}{4}+1+1}$=$\frac{2a-4}{a+8}$=$-\frac{1}{4}$⇒a=$\frac{8}{9}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值．涉及到線性規(guī)劃的題目，每年必考；就此題而言，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，一般來(lái)說(shuō)，高考題中的分式結(jié)構(gòu)在處理方式上一般是分離變形，這樣其幾何意義就表現(xiàn)來(lái)了．是中檔題．