Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前10項和S₁₀=100；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設log₂b_n=a_n，證明{b_n}為等比數(shù)列，并求{b_n}的前四項之和．
（3）設c_n=b_n+a_n，求{c_n}的前五項之和．

Answer 1

解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₁₀=100，得10x1+d=100，解得d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N⁺）；
（2）∵a_n=log₂b_n?b_n==2^2n-1．
∴b₁=2，==4，
∴{b_n}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列．
b_n=2x4^n-1，b₁+b₂+b₃+b₄=2+8+32+128=170，
（3）c_n=b_n+a_n=2n-1+2x4^n-1，
∴{c_n}的前五項之和為1+3+5+7+9+170+2x256=707．
分析：（1）有S₁₀=100求出公差d，再代入等差數(shù)列的通項公式即可．（2）先由（1）的結論，求出{b_n}的通項公式，然后再看是否滿足等比數(shù)列的定義即可，進而求得{b_n}的通項公式，從而可求
{b_n}的前四項之和；（3）根據(jù)c_n=b_n+a_n，分別求出數(shù)列{c_n}的前五項，再求和即可．
點評：本題是對等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合考查．在利用通項公式判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列時，通常是利用等比數(shù)列的定義，以及分組求和，同時考查了運算能力，屬中檔題．